摩天大楼上掉下的硬币会砸死人吗?

如果天上掉个馅饼,除了是福气来了,还可能是死神来了。掉馅饼不常有,高楼上掉下个硬币的事倒是常有,你可曾担心过有一天就这样莫名其妙被一枚硬币谋杀了?

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长久以来,许多人都认为从摩天大楼上掉下来的硬币如果砸到人身上会要了他的命。他们的理由就是自由落体定律:由于重力的作用,下落的物体一直在加速,只要下落距离足够长,硬币总会达到使人致死的速度。然而实际情况真的如此吗?

空气阻力可以救命

其实答案是……卖个关子在这里先不说。实际上,在这个问题中,我们需要考虑平时做题目从不考虑的空气阻力,空气阻力在这里起到了至关重要的作用。在通常的低速情况下,空气阻力自然是可以如计算高中物理题一般忽略不计;然而在高速运动的情况下,例如研究摩天大楼上掉下来的高速下落的硬币、或者是从特别高的地方跳下来企图获得极高的速度穿越时(没错,我在说《黑衣人3》),空气阻力则不可忽略,他们甚至会大到成为决定最终运动状态的关键因素。

在高速情况下的空气阻力的公式如下:

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其中 ρ 为空气的密度; C d 为阻力系数,它非常依赖于物体的形状; A 为物体的横截面积, v 是物体相对于空气的速度。

从空气阻力的表达式中我们可以看出,速度越大,空气阻力也就越大。然而空气阻力也不会无限制地增大,当空气阻力大到与重力 G = mg 相等时,物体的受力就平衡了。于是此时物体不再有加速度,将稳定地以这个速度匀速下落,这时的速度被称为收尾速度 v 0 ,它的大小可以通过 F d = G 求得:

http://img1.guokr.com/gkimage/dn/ql/gl/dnqlgl.png

这种由空气阻力与重力平衡的匀速下落实际上非常常见:通常的雨滴,下落到地面上的时候,都是匀速的。而雨点越小雨滴飘落得越慢这一生活经验,也正可以由上式中 v 0 与 m 的 1/2 次方成正比得到解释。

回到我们最初的问题上来,硬币最后的收尾速度是否会对人体造成足以致命的伤害?让我们代入硬币的具体数据来计算一下。以 1 元硬币为例:它的质量约为 6.3g,直径 d 约为 25 毫米,厚度 h 约为 2 毫米。通常温度压强下的空气密度 ρ 为 1.2 kg/ m 3 ,我们设它是恒定的。阻力系数Cd在硬币的圆面水平下落时为 1.15(见参考文献[3]),而在硬币的圆面竖直下落时没有确切的数据可以查询,但是也约为 1。代入这些具体数值就可以分别计算硬币的圆面水平和竖直下落时的收尾速度,作为其最小值和最大值,得到结果:

http://img1.guokr.com/gkimage/9s/5n/x6/9s5nx6.png

也就是说不论硬币从多高的地方掉下来,最终的速度也不会超过 45.4 m/s。真实情况下,硬币下落时会在空中翻滚,因此可以认为真实情况下硬币的收尾速度是介于以上面两种情况之间的。

极限速度不是致命速度

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让我们来考虑最极限的情况,最大的收尾速度会不会对人体造成伤害甚至致命?为此我们需要估算一下这么大的速度的硬币砸到人身上时,人所受的力及压强。用动量定理可以做一个很好的估计:

一般而言,硬币与人体皮肤作用的时间为 10ms 量级(详见参考文献 [1] ),因此 F ≈2 9N。如果假设硬币与人体皮肤作用的面积为硬币厚度 h 的平方那么大,即 4 mm 2 ,则人体受到的压强为 P ≈ 7.2MPa。

这么大的压强会不会死人呢?按照参考文献 [1] 中的说法,人体皮肤所能承受的压强为 P = 20.89±4.11MPa,高空坠落的硬币产生的压强比这一极限压强还是小很多的。由此看来,高处落下的硬币基本是不会致命的啦!

事实上,美国的一位物理教授 Louis Bloomfield 还曾经做过实验来证明高空落下的硬币并不那么可怕。他在一个氦气球中安装了一个硬币发射器,然后将这个气球升到数百英尺的高处( 100 英尺约等于 30 米),按下遥控装置让发射器每次放下一枚硬币,然后 Bloomfield 教授试着伸手去接,由于他自己运动神经比较菜(教授自己的说法),他一枚硬币也没接住,反而被砸到了下巴,“就像被一个小虫咬了一口的感觉”。

最后他总结到,虽然摩天大楼高达几百米,但硬币的收尾速度终究有限,高处掉下来的硬币,没有想象中那么危险,当然高处掉落的硬币也有可能砸到敏感部位从而造成不同程度的受伤。他同时指出,如果高空落下一支流线型的小物体,比如头朝下的圆珠笔,那被击中的人可就惨了,应该跟“膝盖中了一箭”差不多。不过想让圆珠笔头冲下竖直落下并不容易,通常圆珠笔都是会翻滚的(不过还是很危险)。所以,行走在都市中摩天大楼中间,我们不必担心偶然落下的一枚硬币击穿头颅“带走”了自己。

即便如此依然不建议大家站在大厦楼顶随手扔东西。

扩展阅读: 超级英雄物理学:能徒手接住坠楼者吗?


参考文献:

[1] J. Coxon, J. Barker, and T. Conlon. A4_6 the penny drops. Physics Special Topics, 9(1), 2011.

[2] Wikipedia contributors. Drag (physics), May 2012. Page Version ID: 493661911.

[3] Wikipedia contributors. Drag coefficient, May 2012. Page Version ID: 494695066.

[4] Wikipedia contributors. Parasitic drag, May 2012. Page Version ID: 491152805.

[5] True or false: Plummeting pennies kill?

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